Công Thức Của Euler

 - 

Công thức Euler được xem như là một dạng bí quyết đặc trưng trong công tác Toán thù học bậc phổ biến trung học. Bài học tập ngày lúc này chúng tôi sẽ reviews với các bạn về khái niệm tương tự như những vận dụng của công thức này vào vào giải tân oán. Hy vọng chúng để giúp đỡ bạn dành được điểm số cao!

I. Định nghĩa

Công thức Euler, tốt còn gọi làđồng điệu thức Euler, là mộtcông thứctoán thù họctrong ngànhgiải tích phức, được thi công bởiđơn vị toán thù họcngườiThụy SĩLeonhard Euler. Công thức đã cho thấy mọt liên hệ giữahàm con số giácvàhàm số nón phức.

Bạn đang xem: Công thức của euler

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

(displaystyle e^ix=cos(x)+isin(x) )

Trong đó:elàcơ sốlogarit thoải mái và tự nhiên,ilà đơn vị củasố phức,(displaystyle sin x  )và(displaystyle cos x  )là cáchàm con số giác.

II. Bài toán phân chia kẹo Euler

Bài tân oán phân chia kẹo Euler là bài xích toán đếm lừng danh với nhiều áp dụng trong số bài tân oán đếm khác. Bài này tôi trình diễn bài toán gốc cơ bạn dạng với một vài bài bác toán thù đếm dạng ứng dụng nhưng nếu như đếm theo cách thường thì sẽ khá trở ngại, tuy vậy Khi gọi theo các đếm của bài bác tân oán Euler thì bài bác toán lại đổi mới dễ dàng.

Nội dung bài toán phân tách kẹo Euler:Có k chiếc kẹo kiểu như nhau phân chia cho n em nhỏ xíu. Hỏi gồm tất cả từng nào cách phân chia kẹo?

Bài toánđề cập tới các đối tượng người tiêu dùng của tổng hợp nhỏng hân oán vị lặp, tổng hợp lặp, bài xích toán thù tìm số nghiệm nguyên ko âm của pmùi hương trình (x_1 + x_2 + . . . + x_n = k) cùng một vài áp dụng của bài toán thù phân tách kẹo.

Lời giải:

- Từ bài xích tân oán thực tế suy ra công dụng bài xích tân oán phân chia kẹo của Euler.

Chúng ta phần đa biết, vào một chuỗi nhị phân, các phần tử dấn một tronhg hai quý hiếm 0 hoặc 1. Số hàng nhị phân thỏa mãn nhu cầu tất cả độ nhiều năm n với trong mỗi hàng gồm đúng k ((0le kle n)) bộ phận dấn quý giá bằng 1 là(C_n^k).

- Bài toán thù mnghỉ ngơi đầu:

Cho một lưới bao gồm các ô vuông. Các nút ít được khắc số từ bỏ 0 mang đến m theo chiều dài từ trái sang trọng đề nghị và trường đoản cú 0 mang lại n theo hướng trường đoản cú bên dưới lên trên mặt. Hỏi bao gồm từng nào đường đi khác nhau từ nút ít (0;0) mang lại nút(m;n) trường hợp chỉ chất nhận được đi trên cạnh các ô vuông theo hướng tự trái sang phải hoặc từ trên xuống dưới?

Hướng dẫn: Một đường như thế được xem như tất cả (m+n) đoạn ( từng đoạn là một cạnh của ô vuông ). Tại từng đoạn chỉ được chọn trong hai giá trị đi lên ( ta mã hóa là 1 trong những ) hay lịch sự bắt buộc ( ta mã hóa là 0 ). Số đoạn tăng trưởng đúng bởi n và số đoạn sang đề nghị đúng bởi m. Bài tân oán dẫn mang lại việc tìm xem có bao nhiêu hàng nhị phân có độ dài ( m+n ) trong những số ấy tất cả đúng n yếu tố có giá trị bằng 1.

Kết trái yêu cầu tìm kiếm là(C_m+n^n).

Ta cho 1 hạt hoạt động trên một lối đi thỏa mãn nhu cầu thử dùng bài bác toán thù trên ( tức là khởi nguồn từ điểm (0;0) với kết thúc tại điểm (m;n), chỉ được phép đi lên hoặc sang trọng phải). Gọi(x_i+1)là số đoạn mà phân tử kia tăng trưởng theo mặt đường trực tiếp đứng có chỉ số i (i= 1;m). Lúc kia, số con đường thẳng đi thỏa mãn nhu cầu chính bằng số nghiệm ngulặng ko âm của phương thơm trình(x_1+x_2+...+x_m+1=n). Số nghiệm đó bằng(C_m+n^n).

Theo bài xích toán khởi đầu trên, số nghiệm phải kiếm tìm mang lại bài toán thù phân chia kẹo Euler là(C_m+n-1^m-1).

III. Ứng dụng của từ bỏ bài bác toán nơi bắt đầu chia kẹo của Euler

1. Ứng dụngbài bác toán nơi bắt đầu chia kẹo của Euler vàođếm số nghiệm nguyên ổn của phương thơm trình

Bài 1: Phương trình (x_1+x_2+...+x_k=n) gồm bao nhiêu nghiệm ngulặng ko âm?

Hướng dẫn giải: Có (x_1+x_2+...+x_k=nleftrightarrow (x_1+1)+(x_2+1)+...+(x_k+1)=n+k).

Đặt(x"_i=x_i+1 ) thì (x"_i) là những số nguyên ổn dương.

Áp dụng bài toán nơi bắt đầu ta có tất cả (C_n+k-1^k-1) nghiệm ngulặng ko âm của pmùi hương trình.

Xem thêm:

Bài 2:Giải bất phương thơm trình?

Hướng dẫn giải: Có (\x_1+x_2+...+x_kn) cùng với (x" ge1) . Vậy bao gồm tất cả (C_n-1^k)nghiệm ngulặng dương của phương trình.

2. Ứng dụng bài toán thù nơi bắt đầu phân chia kẹo của Euler vào những bài xích tân oán đếm thực tế

Bài 1: Cho nhiều giác phần nhiều 15 đỉnh. Call M là tập tất cả những tam giác bao gồm ba đỉnh là cha đỉnh của đa giá bán đông đảo này. Chọn bỗng dưng 1 tam giác trực thuộc M. Tính tỷ lệ để tam giác được chọn là tam giác cân dẫu vậy không phần nhiều.

Hướng dẫn giải: Giải sử đa giác số đông nội tiếp mặt đường tròn ( O )cùng số đo mỗi cung căng 1 canh là 1 trong những đơn vị chức năng, ta tất cả 15 cung cân nhau điều này. Không gian mẫu mã bao gồm form size (|Omega|= C_15^3) .

Xét một đỉnh tam giác cân có một đỉnh là 1 trong đỉnh của nhiều giác hồ hết thì số đo cung chứa hai lân cận bằng nhau bằng(xge1, xin Z), cạnh còn lại là (yge1, xin Z), . Ta có(2x+y=15leftrightarrow xle 7) với (x eq y ightarrow x eq 5).Vậy gồm 6 tam giác cân nặng có đỉnh là đỉnh của nhiều giác sẽ vì vậy gồm toàn bộ 15 x 6 = 90 tam giác cân không đầy đủ vừa lòng. Vậy tỷ lệ đề xuất tính là (P= dfrac90C_15^3=dfrac1891).

Bài 2:Cho đa giác gần như trăng tròn đỉnh. Lấy tình cờ 3 đỉnh. Tính Phần Trăm để 3 đỉnh đó tạo thành thành một tam giác vuông ko cân.

Hướng dẫn giải: gọi ( O )là đường tròn ngoại tiếp nhiều giác phần đa trăng tròn đỉnh và Call số đo mỗi cung chắn vị 1 cạnh của đa giác là 1 đơn vị chức năng, ta gồm 20 cung như vậy.

Xét 1 tam giác vuông tại một đỉnh của đa giác, Gọi m, n là số đo nhì cung căng vì hai cạnh bên của tam giác, ta gồm m + n = 10 (*) cùng với (n,mge 1;m,n in Z) . Do đó số tam giác vuông tạo thành từ là 1 đỉnh là (C_9^1= 9) trong các số đó có 1 tam giác vuông cân khi m = n =5 buộc phải có 8 tam giác vuông không cân nặng từ là 1 đỉnh. Vậy gồm toàn bộ 20 x8 = 160 tam giác vuông ko cân nặng thỏa mãn.

Vậy Xác Suất phải tính là(P= dfrac160C_20^3=dfrac857).

Bài 3:Hotline S là tập tất cả các số tự nhiên và thoải mái có 3 chữ số được lập trường đoản cú tập X = 0,1,2,3,4,5,6,7. Rút ít ngẫu nhiên một một trong những ở trong tập S. Tính Xác Suất để rút ít được số mà lại trong số ấy chữ số thua cuộc luôn luôn to hơn hoặc bằng chữ số đứng trước?

Hướng dẫn giải: Không gian mẫu dễ tính được (|Omega|= 7.8.8=448) .

Xét một trong những abc thỏa mãn đề bài bác thì (1le ale ble cle 7) .

Đặt x = a - 1 ; y = b - a; z = c -b; t = c - 7 ta gồm (x,y,z,tge 0; x,y,z,t in Z) cùng x + y + z + t = 6(*).

Vậy số nghiệm nguim ko âm của pmùi hương trình (*) chính là số các số abc vừa lòng đề bài. Mà (C_6+4-1^4-1= C_9^3) . Do kia tất cả (C_9^3) số vừa lòng đổi thay cố gắng xẩy ra. Vậy xác suất phải tính là (P= dfracC_9^3448=dfrac316).

IV. Một số lời khulặng có tác dụng bài xích về công thứcEuler

Thứ nhất chúng ta yêu cầu nuốm kiên cố định hướng về công thức Euler. Việc Bàn bạc đội hoặc tìm hiểu thêm ý kiến thầy gia sư cũng là một trong những cách học tập thiết thực cùng đem lại công dụng cao vào học tập.

Trên đó là toàn cục hầu hết thông báo cần thiết công ty chúng tôi vẫn tổng đúng theo được về topic cách làm Euler. Nếu gồm thắc mắc với hay tư liệu tham khảo thúvị về cách làm Euler vui tươi để lại bên dưới mục phản hồi cũng giống như chia sẻ thêm vào cho chúng ta đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc hẳn rằng, phần đông nguồn thông tin hữu íchnày sẽ giúp đỡ ích chúng ta trong việc học hành rất nhiều cũng giống như mang lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!